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Un numero primo è un numero naturale divisibile unicamente per se stesso e per uno, e diverso da uno. Ad esempio: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17... L'unico numero primo pari è 2.

I numeri primi sono infiniti! Leggi qui la dimostrazione di Euclide, la più antica dimostrazione conosciuta di questo fatto.

L'importanza dei numeri primi in matematica è enorme e deriva essenzialmente dal

TEOREMA FONDAMENTALE DELL'ARITMETICA
Ogni numero naturale può essere scomposto in fattori primi, e tale scomposizione è unica.

La Congettura di Golbach

Uno dei più vecchi problemi irrisolti nella teoria dei numeri afferma che

Ogni numero pari maggiore di 2 è somma di due numeri primi.

Esempi: 4 = 2 + 2, 6 = 3 + 3, 8 = 3 + 5, 10 = 3 + 7 = 5 + 5, 12 = 5 + 7, 14 = 3 + 11 = 7 + 7, e così via.

Non siete convinti? Provate allora questo Programmino sulla congettura. Inserite un numero pari a piacere e cliccate su "Premi", vi apparirà il vostro numero scritto come somma di due numeri primi!

Origini. Nel 1742, il matematico prussiano Christian Goldbach scrisse una lettera a Leonhard Euler in cui propose la seguente congettura: "Ogni numero dispari maggiore di 5 può essere scritto come somma di tre numeri primi". Euler, interessandosi al problema, rispose con una versione più forte della congettura: "Ogni numero pari maggiore di 2 può essere scritto come somma di due numeri primi". La prima delle due è oggi conosciuta come congettura "debole" di Goldbach, la seconda come congettura "forte". La versione forte implica la congettura debole, poiché ogni numero dispari maggiore di 5 può essere ottenuto aggiungendo 3 (il numero 1 non viene considerato primo) ad ogni numero pari maggiore di 2. Si conviene che il termine congettura di Goldbach sia sinonimo di congettura forte di Goldbach. Entrambi i problemi sono rimasti irrisolti fino ad oggi.

Risultati. La congettura di Goldbach è stata attaccata da molti teorici dei numeri. La maggior parte dei matematici ritiene che la congettura sia vera, basandosi principalmente su considerazioni statistiche e probabilistiche ottenute con il teorema dei numeri primi: più grande è il numero pari, più diventa probabile che possa essere scritto come somma di due primi.

Curiosità. Nel 2000, allo scopo di pubblicizzare il libro "Lo zio Petros e la congettura di Goldbach" di Apostolos Doxiadis, l'editore britannico Tony Faber offrì un premio di un milione di dollari per una dimostrazione della congettura. Il premio sarebbe stato assegnato solo per dimostrazioni inviate per la pubblicazione entro aprile 2002, ma mai reclamato.

Quando un numero è primo?

Stabilire se un numero è primo non è facile! Tuttavia, esistono vari metodi per generare, controllare o certificare la primalità di un numero, il più antico dei quali è sicuramente il crivello di Eratostene, noto già in epoca classica, ma computazionalmente molto costoso. Se da un lato la scomposizione in fattori primi di un numero non è un'operazione veloce (e proprio questa sua caratteristica viene sfruttata per la creazione di codici cifrati), più rapido è verificare se un numero sia primo o meno. Con la significativa eccezione del metodo delle curve ellittiche (noto anche come ECPP) che è deterministico, i test di primalità più efficienti oggi utilizzati sono "probabilistici", nel senso che danno una risposta certa solo quando rispondono NO (ossia quando dicono che il numero è composto) mentre nel caso di risposta SI assicurano soltanto un limite inferiore alla probabilità che il numero sia primo. L'errore dei test può essere però reso piccolo a piacere.

Programmino sui numeri primi 1

Programmino sui numeri primi 2

I numeri primi sono intorno a noi!

Praticamente tutti i grandi matematici si sono occupati, prima o poi, di numeri primi. Recentemente i numeri primi hanno trovato applicazione nel campo della crittologia: nell'RSA, uno dei pricipali algoritmi di crittografia asimmetrica, la decrittazione del messaggio richiede la fattorizzazione di un numero di grandi dimensioni, problema che ad oggi rientra ancora nella categoria dei problemi complessi.
I numeri primi sono comunque sempre apparsi, in modo spesso inaspettato, nelle scienze più disparate: hanno una loro importanza perfino in entomologia, dove si è notato che alcune specie di insetti che hanno un periodo larvale di parecchi anni tendono ad averlo pari a un numero primo (11, 13 e 17 sono i più conosciuti) per evitare che i loro predatori, che hanno in genere cicli biennali o triennali di popolazione, si trovino "in fase" sempre nel momento di massima loro espansione e quindi rendano più precaria la sopravvivenza della specie.

Problemi aperti

Oltre alla congettura di Goldbach, molte altre congetture riguardanti i numeri primi sono ancora aperte. Tra queste, La Congettura di Riemann, uno dei problemi insoluti più importanti di tutta la matematica, riguarda la frequenza dei numeri primi ed è stato scelto fra i sei problemi per il millennio nel 2000.

La congettura dei numeri primi gemelli è un famoso problema irrisolto della teoria dei numeri. Essa fu proposta per la prima volta da Euclide intorno al 300 a.C. e afferma: "Esistono infiniti numeri primi p tale che anche p + 2 sia un numero primo". Due numeri primi che differiscono di 2 sono chiamati primi gemelli. Molti teorici dei numeri hanno tentato di dimostrare questa congettura. La maggior parte dei matematici ritiene che questa congettura sia vera, basandosi principalmente sull'evidenza numerica e su ragionamenti euristici che riguardano la distribuzione probabilistica dei numeri primi.