Offerta per laurea (L) e per laurea specialistica (LS)

(tra parentesi tipo di laurea e il numero di crediti: 1cr = 8h di didattica frontale)

NOTA: nei corsi di Calcolo I, II e III verranno presentati solo gli aspetti più tecnici; pochissime dimostrazioni e comunque solo le più elementari. Gli approfondimenti, le dimostrazioni più significative e gli aspetti concettuali verranno svolti nei corsi di Analisi I e II.

CALCOLO I (L; I periodo I anno; 6cr mutuabili + 2cr laboratorio per matematici )

Nozione di estremo superiore e sue conseguenze. Successioni numeriche. Infinitesimi e infiniti. Proprietà elementari delle funzioni continue. Calcolo differenziale per funzioni reali di una variabile reale; formula di Taylor; teorema di de l'Hopital. Integrale di Riemann per funzioni di una variabile; teorema fondamentale del calcolo integrale; integrazione per sostituzione e per parti; funzioni razionali fratte e loro integrazione; integrali generalizzati; integrali curvilinei. Cenni su equazioni differenziali: a variabili separabili, lineari del primo ordine, lineari del second'ordine a coefficienti costanti.

CALCOLO IIA e B (L; III periodo I anno e I periodo II anno; 6cr mutuabili + 2cr laboratorio per matematici )

Serie numeriche.

Funzioni di 2 o 3 variabili: continuità e limite, derivate parziali e direzionali, differenziabilità, matrice Jacobiana, differenziabilità delle funzioni composte; derivate successive; teorema di Schwartz; formula di Taylor; massimi e minimi relativi liberi o vincolati. Misura di Peano-Jordan e integrazione secondo Riemann; domini normali e formula di riduzione degli integrali multipli; cambiamento di variabile negli integrali multipli: coordinate polari in R², coordinate sferiche e cilindriche in R³. Forme differenziali e loro primitive.

Teorema della divergenza in Rⁿ; formule di Gauss-Green. Area di una superficie, integrali superficiali; teorema di Stokes.

CALCOLO III (L; I periodo II anno; 6cr mutuabili + 2cr laboratorio per matematici )

Successioni e serie di funzioni: convergenza puntuale e uniforme; integrazione per serie e derivazione per serie; serie di potenze, raggio di convergenza; serie di Taylor. Serie di Fourier: convergenza puntuale della serie di Fourier; disuguaglianza di Bessel; identità di Parseval; integrazione delle serie di Fourier.

Equazioni differenziali ordinarie: problema di Cauchy; sistemi lineari, equazioni lineari di ordine n; metodi risolutivi; equazioni differenziali riconducibili a differenziali esatti.

ANALISI I (L; 4cr)

Alcuni complementi al corso di Calcolo I. Successioni estratte; massimo e minimo limite; criterio di Cauchy. Teorema di Bolzano-Weierstrass. Zeri di funzioni continue. Teorema di Weierstrass; uniforme continuità e sue conseguenze. Teoremi sulle funzioni derivabili in un intervallo e loro conseguenze (monotonia, formula di Taylor; teorema di de l'Hopital). Funzione integrale e teorema di Torricelli; criteri di integrabilità in senso generalizzato.

ANALISI II (L, 4cr)

Alcuni complementi ai corsi di Calcolo II e di Calcolo III.

Teorema della funzione implicita; inverse locali e globali. Integrali dipendenti da un parametro: continuità e derivazione sotto il segno di integrale. Misura di Peano-Jordan per insiemi non limitati di Rⁿ e integrali generalizzati. Forme differenziali e loro primitive.

Successioni e serie di funzioni. Problema di Cauchy: teorema di esistenza e unicità in piccolo; prolungabilità delle soluzioni ed esistenza in grande. Teorema della divergenza; formule di Gauss-Green; teorema di Stokes.

ANALISI COMPLESSA (L/LS, 4cr)

Funzioni olomorfe, prolungamento di funzioni da R a C, cenno alle funzioni polidrome, curve in C, il teorema dell’integrale nullo di Cauchy e le sue conseguenze, serie di Laurent, teorema dei residui, teorema dell’indicatore logaritmico, lemmi di Jordan, calcolo di integrali con la teoria dei residui.

ANALISI REALE (L/LS, 4cr)

Teoria della misura e dell'integrazione secondo Lebesgue; misure astratte. Spazi Lp e introduzione agli spazi di Sobolev.

ANALISI FUNZIONALE (LS, 4cr)

Spazi di Banach e di Hilbert.

TEORIA DELLE DISTRIBUZIONI (LS, 4cr)

Teoria delle distribuzioni. Spazi di Sobolev.

CALCOLO DELLE VARIAZIONI (LS, 4cr)

Metodi diretti; equazione di Eulero.

EQUAZIONI A DERIVATE PARZIALI (LS, 4cr)

Metodi variazionali per equazioni ellittiche e paraboliche.

TEORIA DEGLI OPERATORI (LS, 4cr)

Teoria spettrale.

METODI MATEMATICI (LS, 4cr)

Trasformata di Fourier (teoria L¹ e L²), trasformata di Laplace, applicazioni alle equazioni differenziali.