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Un po' di teoria...non spaventatevi!

Tutti sanno che i numeri razionali (cioè le frazioni) hanno una rappresentazione decimale finita o periodica e che la parte periodica "pura" può essere preceduta da alcune cifre che non si ripetono.

Alcuni sanno anche che una frazione (ulteriormente irriducibile) a/b ha una rappresentazione decimale periodica pura se e solo se b e 10 sono numeri "primi fra di loro" (cioè il loro massimo comun divisore è uguale a 1), e che il numero di cifre del periodo è sempre minore o uguale a b-1. Questo dice poco, anche se lascia presumere che, in alcuni casi, il periodo potrebbe essere molto ma molto lungo!

Pochi sanno inoltre che la lunghezza del periodo dello sviluppo decimale periodico puro (quando c'è!) di a/b è il più piccolo numero m per il quale b è un divisore di 99.....9 (cioè 9 ripetuto m volte). In molti casi, questo numero m risulta molto grande.

Quasi nessuno ricorda che tutto quello che precede vale anche in base n, sostituendo a 10 il numero n.

Se vi siete semplicemente incuriositi, oppure se sapete come scrivere una frazione corrispondente a un dato sviluppo decimale, (se non lo sapete... date un'occhiata qui) ma non vi fidate di voi stessi e volete controllare senza dover spendere una fortuna per acquistare un sofisticato programma di computer algebra (che tanto poi con gli arrotondamenti...vatti a fidare...), potete usare uno di questi due programmi: dp.exe oppure fr_per_primi.exe.

Non sperate (senza avere prima seguito un corso sulle progressioni e le serie) di ricavare qualche cosa da una normale calcolatrice, non ci stanno quasi mai abbastanza cifre nel display! Il secondo programma fornisce anche i risultati parziali del procedimento ricorsivo (descritto nelle dispense) da adottare per calcolare il periodo su una calcolatrice con display da k cifre.

Devo questi due deliziosi programmini a due studenti del Corso di Laurea in Informatica di Novara (2001/2002): dp.exe è stato scritto da Domenico Lorusso, mentre fr_per_primi.exe da Luca Cristina. A loro vanno i miei ringraziamenti.

Istruzioni per l'uso :

• fr_per_primi.exe è autoesplicativo, eseguitelo e seguite le istruzioni a video. Questo programmino calcola sia lo sviluppo decimale di una data frazione, sia la frazione che rappresenta un dato numero decimale

• dp.exe scrive il risultato sul file di testo dp.out (che vi ritroverete dopo la prima esecuzione nella stessa cartella dove avete messo il programma) e che potete leggere a esecuzione terminata. Se invece volete vedere subito il risultato, prelevate questo archivio (che contiene tre files) e decomprimetelo in una cartella di vostra scelta; un doppio click su dp.bat lancia il programma e stampa a video il risultato dell'esecuzione. Attenzione, prendete denominatori "ragionevoli" : il programma si crede onnipotente, calcola inesorabile il periodo cifra dopo cifra e si ferma solo in due casi: o ha scritto il periodo nel file dp.out oppure il periodo è talmente lungo che il file dp.out ha esaurito lo spazio sul vostro povero disco fisso!