Calcolo III

Docente: prof. Fabio Gastaldi

Crediti (CFU): 8, di cui 2 di laboratorio

Il corso si compone di lezioni teoriche e di esercitazioni pratiche svolte dal docente. L'esame consta di una prova scritta e di una prova orale.

Programma:

Successioni numeriche. Condizione di Cauchy e completezza. Sottosuccessioni. Teorema di Bolzano-Weierstrass. Teorema di Weierstrass sulle funzioni continue. Integrabilità delle funzioni continue su compatti. Misura di insiemi illimitati. Integrale generalizzato per funzioni di più variabili. Serie numeriche: definizione ed esempi; condizione necessaria per la convergenza. Criteri di convergenza per le serie a termini positivi. Convergenza assoluta e convergenza semplice. Criterio di Leibniz per le serie a termini di segno alterno. Successioni di funzioni. Convergenza puntuale e uniforme. Teoremi di inversione di limiti per successioni uniformemente convergenti. Serie di funzioni. Teorema di Weierstrass sulla convergenza totale. Serie di potenze; raggio di convergenza; continuità e derivabilità della somma di una serie di potenze. Serie di Taylor; esempi; stime del resto. Serie di Fourier; proprietà dei coefficienti di Fourier; convergenza della serie di Fourier. Funzione implicita; teorema di Dini per funzioni di due variabili; continuità e derivabilità della funzione implicita. Estensioni del teorema di Dini al caso di funzioni vettoriali. Teorema di inversione locale. Varietà differenziabili e loro rappresentazioni; equivalenza locale. Equazioni differenziali ordinarie e problema di Cauchy: generalità; trasformazione di un'equazione di ordine n in un sistema differenziale di n equazioni del primo ordine. Condizione di Lipschitz; equazione integrale di Volterra. Teorema locale di esistenza e unicità della soluzione del problema di Cauchy. Prolungamento di soluzioni; esistenza globale. Proprietà qualitative delle soluzioni di equazioni differenziali del primo ordine. Sistemi differenziali lineari; equazioni differenziali lineari di ordine n; metodo di variazione delle costanti. Equazioni differenziali lineari omogenee di ordine n a coefficienti costanti: determinazione di una base nello spazio delle soluzioni.

Verranno inoltre ripresi e approfonditi alcuni degli argomenti trattati nel corso di Calcolo 2B.

Testo consigliato:

Bramanti, Pagani, Salsa: Matematica, calcolo infinitesimale e algebra lineare. Ed. Zanichelli

Materiale integrativo relativo a specifici argomenti sarà messo a disposizione dal docente.

         Prerequisiti

Si richiede che, all’inizio del corso di Calcolo III, lo studente abbia una buona padronanza degli  argomenti affrontati nei corsi di Calcolo I, Calcolo II-A e Calcolo II-B..

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