Calcolo I

Docente: prof. Fabio Gastaldi

Crediti (CFU): 8, di cui 2 di laboratorio

Il corso si compone di lezioni teoriche e di esercitazioni pratiche svolte dal docente. L'esame consta di una prova scritta e di una prova orale.

Programma:

Funzioni reali di variabile reale: terminologia, operazioni e loro effetto sui grafici, composizione; funzioni inverse ed esempi relativi.

Limite di una funzione reale di variabile reale; limite destro e sinistro; limite infinito.

Limiti e operazioni algebriche; teoremi di permanenza del segno e dei due carabinieri.

Funzioni continue; continuità e operazioni algebriche; continuità e composizione; continuità della funzione inversa; continuità delle funzioni trigonometriche e delle loro inverse; continuità di esponenziale e logaritmo. Teoremi di Weierstrass e dei valori intermedi.

Derivazione; continuità delle funzioni derivabili. Derivate e operazioni algebriche; derivata della funzione composta e della funzione inversa; derivate successive. Derivazione delle funzioni trigonometriche, esponenziali e loro inverse.

Teorema del valor medio e sue conseguenze: molteplicità delle primitive; legami tra monotonia e segno della derivata. Estremi assoluti e relativi. Concavità e punti di flesso. Applicazioni alla determinazione del grafico di una funzione.

Formula di Taylor con resto di Lagrange.

Forme indeterminate e teoremi di de l'Hopital; infinitesimi e infiniti.

Integrazione secondo Riemann; interpretazione geometrica. Linearità e monotonia dell’integrale; additività sull'intervallo. Teorema della media integrale. Integrabilità delle funzioni continue. Teorema fondamentale del calcolo integrale; formule di integrazione per sostituzione e per parti; integrazione delle funzioni razionali fratte.

Cenni su equazioni differenziali: a variabili separabili, lineari del primo ordine, lineari del second'ordine a coefficienti costanti.

Testi consigliati:

Bramanti, Pagani, Salsa: Matematica, calcolo infinitesimale e algebra lineare. Ed. Zanichelli

Marcellini, Sbordone: Esercitazioni di matematica (2 volumi). Ed. Liguori

Materiale integrativo relativo a specifici argomenti sarà messo a disposizione dal docente.

Prerequisiti:

Si richiede che, all’inizio del corso di Calcolo I, lo studente abbia una buona padronanza dei seguenti argomenti: in particolare, conosca il significato degli strumenti usati e i principali risultati relativi, infine sappia applicarli in esercizi concreti. Gli argomenti indicati sono svolti con dettaglio e con dovizia di esercizi sui testi di Matematica per i Licei Scientifici; può essere utilizzato anche il  testo seguente: P. Boieri, G. Chiti Precorso di Matematica Ed. Zanichelli

Numeri naturali, interi, razionali, reali, in particolare per quanto riguarda le operazioni e l’ordinamento; valore assoluto. Il problema della completezza (postulato di continuità) nei numeri razionali e nei numeri reali.
Geometria euclidea del piano: in particolare, i criteri di uguaglianza e di similitudine dei triangoli, i teoremi di Euclide e di Pitagora, le proprietà elementari dei poligoni e dei cerchi. Corrispondenza tra i numeri reali e i punti di una retta; intervalli, semirette; piano cartesiano; distanza tra due punti nel piano. Luoghi geometrici elementari di R²: retta (condizioni di parallelismo e di perpendicolarità), circonferenza.
Potenze con esponente naturale, proprietà delle potenze; polinomi: divisibilità, radici, fattorizzazione; il problema dell'esistenza di radici in campo reale; radici n-esime.
Potenze con esponente razionale o reale; funzione esponenziale e sue principali proprietà. Logaritmo e sue principali proprietà.
Funzioni reali di variabile reale: dominio, codominio, grafico; operazioni algebriche (somma, prodotto, differenza, quoziente) su funzioni e loro effetto sui grafici; intersezioni tra grafici e loro significato algebrico; grafico della funzione valore assoluto. Iperbole equilatera e parabola y=ax2+bx+c.
Equazioni e disequazioni di primo e di secondo grado; sistemi di equazioni e di disequazioni.
Equazioni e disequazioni irrazionali; con esponenziali, logaritmi e valore assoluto.
Trigonometria: misura in radianti di un angolo; identità e relazioni fondamentali, angoli notevoli; grafici di seno, coseno, tangente; equazioni e disequazioni con funzioni trigonometriche.

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